المبدأ

نجزئ المجال الاندماج [a, b] إلى N مجال ذي طول يساوي h = ،
محدودة بنقط التجزيء x_n = a + nh , n = 0,... N .

لكل أفصول x_n، نحسب القيمة المقربة y_n للقيمة الصحيحة y(x_n) لدالة y .

لهدا نبدل ميل المماس f(x_n, y_n) بمتوسط cefficientée لهدا الميل مع 3 قيمة مصححة على التوالي في 3 نقط من المجال [x_n, x_n+1] في صيغة ؤلير.

الخوارزم

مثال

لتكن    علما أن y(0) = 1

الحل المضبوط هو : 

h = 1/10
x₀ = 0 , y₀ = 1

x₁ = 1/10
k₁ = f(x₀, y₀))
    = -y₀²
    = -1²
    = -1
k₂ = f(x₀+(h/2), y₀+h(k₁/2))
    = -(y₀+h(k₁/2))²
    = -(1+(1/10)(-1/2))²
    = -361/400
k₃ = f(x₀+(h/2), y₀+h(k₂/2))
    = -(y₀+h(k₂/2))²
    = -(1+(1/10)(-361/800))²
    = -58354321/64000000
k₄ = f(x₀+h, y₀+hk₃)
    = -(y₀+hk₃)²
    = -(1+(1/10)(-58354321/64000000))²
    = -(581645679/640000000)²
y₁ = y₀ +(h/6)(k₁+2k₂+2k₃+k₄)
    = 1+(1/60)( -1-2(361/400)-2(58354321/64000000)-(581645679/640000000)²)

البرمجة

#include <math.h>
#include <conio.h>

double ed_f(double x,double y)
{
 return(-y*y);
}

double ed_solution(double x)
{
 return(1.0/(1.0+x));
}

long ed_runge_kutta(double a,double b,double y,long n,double res[101][2]);
void ed_affichage(double a,double b,long n,long nmax,double res[101][2],int nbpts);

main()
{
 int nbpts;
 long n,nmax;
 double a,b,y0;
 double res[101][2];
 clrscr();
 nbpts=10;
 a=0;b=1;y0=1;
 printf("Méthode de Runge-Kutta\n");
 for(n=10;n<=1000;n*=10)
 {
  nmax=ed_runge_kutta(a,b,y0,n,res);
  ed_affichage(a,b,n,nmax,res,nbpts);
  printf("                                             taux = %.3e\n",
  fabs(res[nmax][1]-ed_solution(res[nmax][0]))*pow(n,4));
 }
}

h =  0.1000
     xn              yn            الارتياب
  0.0000  1.0000000000000000e+00  0.00e+00
  0.1000  9.0909118633221964e-01  2.77e-07
  0.2000  8.3333372884307211e-01  3.96e-07
  0.3000  7.6923120575328652e-01  4.37e-07
  0.4000  7.1428615389276151e-01  4.40e-07
  0.5000  6.6666709106586264e-01  4.24e-07
  0.6000  6.2500040094917386e-01  4.01e-07
  0.7000  5.8823566858083909e-01  3.74e-07
  0.8000  5.5555590318321424e-01  3.48e-07
  0.9000  5.2631611126425815e-01  3.22e-07
  1.0000  5.0000029758023101e-01  2.98e-07
   نسبة = 2.98e-03 
h =  0.0100
     xn              yn            الارتياب
  0.0000  1.0000000000000000e+00  0.00e+00
  0.1000  9.0909090911944701e-01  2.85e-11
  0.2000  8.3333333337395810e-01  4.06e-11
  0.3000  7.6923076927553513e-01  4.48e-11
  0.4000  7.1428571433074217e-01  4.50e-11
  0.5000  6.6666666671009622e-01  4.34e-11
  0.6000  6.2500000004099976e-01  4.10e-11
  0.7000  5.8823529415591624e-01  3.83e-11
  0.8000  5.5555555559106540e-01  3.55e-11
  0.9000  5.2631578950654223e-01  3.29e-11
  1.0000  5.0000000003037637e-01  3.04e-11
   نسبة= 3.04e-03
h =  0.0010
     xn              yn            الارتياب
  0.0000  1.0000000000000000e+00  0.00e+00
  0.1000  9.0909090909091184e-01  2.81e-15
  0.2000  8.3333333333333726e-01  4.03e-15
  0.3000  7.6923076923077394e-01  4.83e-15
  0.4000  7.1428571428571919e-01  5.05e-15
  0.5000  6.6666666666667118e-01  4.66e-15
  0.6000  6.2500000000000422e-01  4.38e-15
  0.7000  5.8823529411765119e-01  4.30e-15
  0.8000  5.5555555555555947e-01  4.10e-15
  0.9000  5.2631578947368829e-01  4.27e-15
  1.0000  5.0000000000000366e-01  3.83e-15
   نسبة = 3.83e-03

الدالة الرئيسية ed_runge_kutta

معايير هذه الدالة هي كالتالي:

• a و b : حدي المجال [a, b]

• y : الشرط البدئي y₀ = y(a) = y(x₀)i

• n : عدد المجالات الصغيرة (ذات الطول h)

• res : جدول لحفظ القيم (x_n, y_n)

تستدعي الدالة الرئيسية الدالة التالية التي يجب تعريفها في البرنامج الرئيسي أيضا:

 double ed_f(double x,double y)

 تمثل هذه الدالة الدالة الرياضية  f .

يتم حساب القيم التقريبية لـ y(x)i من خلال طريقة رونج كيتا. وترجع بعدد القيم (x_n, y_n) المحفوظة (أقصى حد هو 100).

سيتم حفظ هذه القيم في الجدول res :حيث سيحتوي العمود 0 على قيم x_n بينما سيمثل العمود 1 قيم y_n المقابلة.

long ed_runge_kutta(double a,double b,double y,long n,double res[101][2]) 
{
 double x,h,k1,k2,k3,k4,tol,xx,exx;
 long i,j;
 h=(b-a)/n;
 tol=h/2;
 x=a;
 res[0][0]=a;
 res[0][1]=y;
 j=1;

 for(i=1;i<=n;i++)
 {
  k1=ed_f(x,y);
  k2=ed_f(x+h/2,y+h*k1/2);
  k3=ed_f(x+h/2,y+h*k2/2);
  k4=ed_f(x+h,y+h*k3);
  y += h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
  x += h;
  xx=x-a;
  exx=floor(100*xx+0.5)/100;
  if(fabs(exx-xx)<tol)
  {
   res[j][0]=x;
   res[j][1]=y;
   j++;
  }
 }
 return(j-1); 
}

دالة الإظهار ed_affichage

معايير دالة الإظهار هي كالتالي:

• a و b : حدي المجال [a, b]
  n : عدد المجالات الصغيرة (ذات الطول h)
  nmax : العدد الأقصى للقيم المحتفظ بها
  res : جدول يحفظ القيم (x_n, y_n)
  nbpts : عدد القيم المسموح لها بالإظهار على الشاشة

وهي بدورها تستدعي الدالة التالية:

 double ed_solution(double x)

 التي يجب أن تعرف في البرنامج الرئيسي وتعطى الحل الحقيقي لـ  y.

ستقوم دالة الإظهار بإظهار جزئي للقيم (nbpts قيمة كأقصى حد) المحفوظة في الجدول res. وتظهر أيضا نسبة الخطأ، أي الفرق بينالقيمة الحقيقية y(x_n)i للحل y(x)i والقيمة المقربة لـ y_n.

void ed_affichage(double a,double b,long n,long nmax,double res[101][2],int nbpts)
{
 double h,x;
 long i;
 h=(b-a)/n;
 printf("h = %.4f\n",h);
 printf(" xn yn Erreur\n");
 if(nmax<nbpts)
   for(i=0;i<=nmax;i++)
     printf("%8.4f %.17e %.3e\n", res[i][0],res[i][1],fabs(ed_solution(res[i][0])-res[i][1]));
 else 
 {
   for(i=0;i<=nmax;i++)
   {
    x=floor(res[i][0]*nbpts+0.5)/nbpts;
    if(fabs(x-res[i][0])<0.005)
     printf("%8.4f %.17e %.3e\n", x,res[i][1],fabs(ed_solution(res[i][0])-res[i][1])); 
   } 
  }
}