مصطلحات

العربية: طريقة جوردن
الإنجليزية: Jordan Method
الفرنسية: Méthode de Jordan

المبدأ

• تستعمل هذه الطريقة نفس مبدأ طريقة جوص ولكن في المرحلة K في الجدول (A^(k) | b^(k)), ، نقوم بتأليفة خطية لسطر l_k ، ليس فقط مع السطور  l_i (بحيث i = i+1,... n)  ولكن مع السطور l_i  (بحيث i = 1,... i-1) بحيث تنعدم فيها العناصر غير القطرية  للعمود k^e المنتمي إلى المصفوفة A(k)، وهذا ما يجعل المصفوفة  قطرية.

• نحل بعد ذلك النظمة القطرية.

الخوارزم

المرحلة 1: التحويل القطري للمصفوفة A، أي تحويل النظمة إلى نظمة مكافئة لمصفوفة قطرية.

A⁽¹⁾ = A, b⁽¹⁾ = b.

المرحلة 2 : لنحل النظمة القطرية A⁽ⁿ⁺¹⁾ x = b⁽ⁿ⁺¹⁾ 

مثال

لنحل النظمة Ax=b بحيث:

   و 

حل يدوي (باستعمال الكسر)

 المرحلة 1: التحويل القطري للمصفوفة A 

                           ---------------------------------------

                           ---------------------------------------

                           ---------------------------------------

                           ---------------------------------------

 المرحلة 2: حل النظمة القطرية A⁽⁵⁾x = b⁽⁵⁾

البرمجة

• #include <math.h>
  #include <conio.h>
  #define NMAX 5
  #define N2MAX 6
  
  int sl_jordan_aff(double a[NMAX][NMAX],double b[NMAX],int n);
  
  main()
  {
   double a[NMAX][NMAX],b[NMAX];
   int i,j,n,err;
   clrscr();
   n=4;
   printf("Méthode de Jordan\n");
   a[1][1]=8;a[1][2]=-4;a[1][3]=3;a[1][4]=7;b[1]=12;
   a[2][1]=4;a[2][2]=2;a[2][3]=-6;a[2][4]=4;b[2]=1;
   a[3][1]=-16;a[3][2]=6;a[3][3]=-2;a[3][4]=-15;b[3]=-19;
   a[4][1]=6;a[4][2]=10;a[4][3]=-15;a[4][4]=10;b[4]=1;
   printf("                          A(1)                                 b(1)\n");
   for(i=1;i<=n;i++)
   {
    for(j=1;j<=n;j++)
    printf("%12.6e  ",a[i][j]);
    printf("I  %12.6e  \n",b[i]);
   }
   err=sl_jordan_aff(a,b,n);
   if(err==1)
   {
    printf("Solution:\n");
    for(i=1;i<=n;i++)
    printf("x%d =%23.16e  \n",i,b[i]);
   }
   else printf("Erreur, matrice singulière");
  }

  ---

  النتائج

  يظهر البرنامج في كل مرحلة ما يلي :
  

  • المصفوفة A^(k)

  • العنصر الثاني b^(k)
    

  • ويظهر بعد ذلك حل النظمة

    A(1)                                 b(1)
   8.00000e+00  -4.00000e+00   3.00000e+00   7.00000e+00  I   1.20000e+01  
   4.00000e+00   2.00000e+00  -6.00000e+00   4.00000e+00  I   1.00000e+00  
  -1.60000e+01   6.00000e+00  -2.00000e+00  -1.50000e+01  I  -1.90000e+01  
   6.00000e+00   1.00000e+01  -1.50000e+01   1.00000e+01  I   1.00000e+00  
    A(2)                                 b(2)
   8.00000e+00  -4.00000e+00   3.00000e+00   7.00000e+00  I   1.20000e+01  
   0.00000e+00   4.00000e+00  -7.50000e+00   5.00000e-01  I  -5.00000e+00  
   0.00000e+00  -2.00000e+00   4.00000e+00  -1.00000e+00  I   5.00000e+00  
   0.00000e+00   1.30000e+01  -1.72500e+01   4.75000e+00  I  -8.00000e+00  
    A(3)                                 b(3)
   8.00000e+00   0.00000e+00  -4.50000e+00   7.50000e+00  I   7.00000e+00  
   0.00000e+00   4.00000e+00  -7.50000e+00   5.00000e-01  I  -5.00000e+00  
   0.00000e+00   0.00000e+00   2.50000e-01  -7.50000e-01  I   2.50000e+00  
   0.00000e+00   0.00000e+00   7.12500e+00   3.12500e+00  I   8.25000e+00  
    A(4)                                 b(4)
   8.00000e+00   0.00000e+00   0.00000e+00  -6.00000e+00  I   5.20000e+01  
   0.00000e+00   4.00000e+00   0.00000e+00  -2.20000e+01  I   7.00000e+01  
   0.00000e+00   0.00000e+00   2.50000e-01  -7.50000e-01  I   2.50000e+00  
   0.00000e+00   0.00000e+00   0.00000e+00   2.45000e+01  I  -6.30000e+01  
    A(5)                                 b(5)
   8.00000e+00   0.00000e+00   0.00000e+00  -1.38778e-16  I   3.65714e+01  
   0.00000e+00   4.00000e+00   0.00000e+00  -5.55112e-17  I   1.34286e+01  
   0.00000e+00   0.00000e+00   2.50000e-01  -1.73472e-17  I   5.71429e-01  
   0.00000e+00   0.00000e+00   0.00000e+00   2.45000e+01  I  -6.30000e+01  
  Solution:
  x1 =  4.571428571428571e+00  
  x2 =  3.357142857142857e+00  
  x3 =  2.285714285714286e+00  
  x4 = -2.571428571428572e+00  

الدالة الرئيسية sl_jordan_aff

• معايير الدالة

a : المصفوفة
b : العنصر الثاني
n : درجة المصفوفة

القيمة الرجعية

ترجع القيمة 1 عندما تكون المصفوفة مقلوبة رقميا والقيمة 0 إذا كان عكس ذلك.

إذا كانت قيمة الرجوع هي 1 فسيكون الحل في الجدول b.

خلال كل كرة يتم إظهار المصفوفة Ak والعنصر الثاني bk.

تساوي الثابتة NMAX البعد القصوي للمصفوفة زائد 1، وتساوي الثابتة N2MAX القيمة NMAX+1

int sl_jordan_aff(double a[NMAX][NMAX],double b[NMAX],int n)
{
 int i,j,k,err;
 double pivot,coef;
 double t[NMAX][N2MAX];
 for(i=1;i<=n;i++)
 {
 for(j=1;j<=n;j++)
 t[i][j]=a[i][j];
 t[i][n+1]=b[i];
 }
 err=1;
 k=1;
 while (err==1 && k<=n)
 {
 pivot=fabs(t[k][k]);
 j=k;
 while(pivot==0 && j<n)
 {
 j++;
 pivot=fabs(t[j][k]);
 }
 if(pivot!=0)
 {
 if(j!=k)
 for(i=k;i<=n+1;i++)
 {
 pivot=t[k][i];
 t[k][i]=t[j][i];
 t[j][i]=pivot;
 }
 pivot=t[k][k];
 for(i=1;i<=n;i++)
 if(i!=k)
 {
 coef=t[i][k]/pivot;
 for(j=1;j<=n+1;j++)
 t[i][j] -= coef*t[k][j];
 }
 printf(" A(%d) b(%d)\n",k+1,k+1);
 for(i=1;i<=n;i++)
 {
 for(j=1;j<=n;j++)
 printf("%12.6e ",t[i][j]);
 printf("I %12.6e \n",t[i][n+1]);
 }
 }
 else err=0;
 k++;
 }
 if(err==1)
 for(i=1;i<=n;i++)
 b[i]=t[i][n+1]/t[i][i];
 return(err);
}