المبدأ

أوجد   بحيث  f() = 0

ننشئ متتالية {x_n}، بحيث تكون الكرة x_n+1  تقاطع مع محور الأفقي للمماس في النقطة(x_n, f(x_n))  للتمثيل المبياني لـ f.

الخوارزم

تهيئ: ليكن x₀ مجاور لـ .

الكرة: 

مثال

نعتبر المعادلة :f(x) = (x+3)/(x-1) - x + 2 = 0

هذه المعادلة تقبل جذرين هما : 2 +   و 2 -

حساب رقمي للجذر السالب، نعتبر نقطة الانطلاق x₀ = 0 .

الكرتان الأوليتان

f '(x) = (-4)/(x-1)² - 1

f(x₀) = f(0) = (0+3)/(0-1) - 0 + 2 = -1
f '(x₀) = (-4)/(0-1)² - 1 = -5
x₁ = x₀ - f(x₀)/f '(x₀) = 0 - (-1)/(-5) = -1/5

f(x₁) = f(-1/5) = (-1/5+3)/(-1/5-1) - (-1/5) + 2 = -2/15
f '(x₁) = (-4)/(-1/5-1)² - 1 = -34/9
x₂ = x₁ - f(x₁)/f '(x₁) = -1/5 - (-2/15)/(-34/9) = -4/17

البرمجة

#include <math.h>
#include <conio.h>
#define ITERMAX 51

double eq_f(double x)
{
 return((x+3.0)/(x-1.0)-x+2.0);
}

double eq_fp(double x)
{
 return(-4.0/((x-1.0)*(x-1.0))-1.0);
}

void eq_newton(double x,double eps,double t[ITERMAX]);

main()
{
 int i;
 double x,eps,vr_rac,er0,er1,c;
 double t[ITERMAX];
 clrscr();
 vr_rac=2.0-sqrt(5.0);
 printf("Méthode de Newton\n");
 x=0;eps=1e-16;
 er0=fabs(x-vr_rac);
 eq_newton(x,eps,t);
 for(i=1;i<ITERMAX;i++)
 if (t[i]!=0)
 {
  er1=fabs(t[i]-vr_rac);
  printf("x%2d = %.17e    err = %.3e",i,t[i],er1);
  if (er0!=0)
  {
   c=er1/pow(er0,2);
   printf("    rap = %.3e",c);
  }
  printf("\n"); er0=er1;
 }
}

x 1 = -2.0000000000000001e-01    err = 3.61e-02    rap = 6.47e-01
x 2 = -2.3529411764705882e-01    err = 7.74e-04    rap = 5.95e-01
x 3 = -2.3606762680025048e-01    err = 3.51e-07    rap = 5.86e-01
x 4 = -2.3606797749971770e-01    err = 7.20e-14    rap = 5.85e-01
x 5 = -2.3606797749978969e-01    err = 0.00e+00    rap = 0.00e+00
x 6 = -2.3606797749978969e-01    err = 0.00e+00

الدالة الرئيسية eq_newton

معايير هذه الدالة هي كالتالي:

x: يمثل القيمة البدئية x0 المخصصة لانطلاق عمل الخوارزم.
t : جدول ذي الدرجة ITERMAX.
eps : الدقة المطلوبة

تستدعي الدالة الرئيسية دالتين أخرتين هما كالتالي:

 double eq_f(double x)

double eq_fp(double x)

يجب أن تعرفا معا في البرنامج الأساسي، حيث eq_f تمثل الدالة الرياضية f و eq_fp تمثل مشتقتها.

تُرجع الدالة في الجدول t التكرارات المتتالية للخوارزم الثنائي.

الثابتة الصحيحة ITERMAX تساوي العدد القصوي للتكرارات المطلوبة (+1).

void eq_newton(double x,double eps,double t[ITERMAX])
{
 double y,err,der;
 int n,stop;
 for(n=0;n<ITERMAX;n++)
 t[n]=0;
 n=0;
 err=2*eps;
 stop=0;
 while ((fabs(err) > eps) && (stop==0) && (n < ITERMAX-1))
 {
 n++;
 der=eq_fp(x);
 if(der!=0)
 {
 y=x-eq_f(x)/der;
 err=y-x;
 x=y;
 t[n]=x;
 }
 else stop=1;
 }
}