العلاقات الأساسية وَمبدأ التبسيط الجبري
- xy + xy = x
البرهان :
xy + xy = x
= x (y + y) التعميل
= x . 1 (y + y = 1) التكميلية
= x ( x . 1 = 1 . x = x) التبادلية وَ الملاحظات الهامة
x + y)(x + y) = x)
البرهان :
(x + y) . (x + y) = x
= xx + xy + yx + yy التوزيعية
= x + xy + yx (yy = 0) والتكميلية (xx = x) الأحادية
= x (1 + y + y) التعميل
= x (1 + 1) ( y + y = 1) التكميلية
= x (1+1=1) والأحادية (x.1=1.x=x) التبادلية وَ الملاحظات الهامة
xy + x = x
البرهان :
x + xy = x
= x (1 + y) التعميل
= x . 1 (y + 1 = 1) الملاحظات الهامة
= x ( x . 1 = 1 . x = x) التبادلية وَ الملاحظات الهامة
x(x + y) = x
البرهان :
x . (x+y) = x
= xx + xy التوزيعية
= x + xy (xx = x) الأحادية
= x حسب 3.3
x +xy = x + y
البرهان :
x + xy = x + y
= x + xy + xy (x + xy = x) حسب 3.3 فإن
= x + y ( x + x ) التعميل
= x + y . 1 (x + x = 1) التكميلية
= x + y ( y . 1 = 1 . y = y) التبادلية وَ الملاحظات الهامة
x(x + y) = xy
البرهان :
x (x+y) = x
= xx + xy التوزيعية
= 0 + xy (xx = 0) التكميلية
= xy ( xy + 0 = 0 + xy = xy) التبادلية وَ الملاحظات الهامة
xy + xz + yz= xy +xz
البرهان :
xy +xz + yz = xy + xz
= x y + (y + x) z التعميل
= x y + (y + y x) z ( y + x = y + y x ) حسب 3.5
= xy + yz + y x z التوزيعية
= (x + z) y + y x z التعميل
= (x + x z) y + y x z ( x + z = x +x z ) حسب 3.5
= x y + x z y + y x z التوزيعية
= x y + x z (y + y) التعميل
= x y + x z . 1 (y + y = 1) التكميلية
= x y + x z ( xz . 1 = 1 . xz = xz) التبادلية وَ الملاحظات الهامة
(x + y)(x + z)(y + z) = (x + y)(x + z)
البرهان :
(x+y).( x+z).( y+z) = (x + y).( x + z)
= (x + y)(x y + x z + z y + z z )
= (x + y)( x y + x z + z y + z )
= (x + y)[ x y + x z + z ( y + 1 ) ]
= (x + y)( x y + x z + z )
= (x + y)[ x y + (x + 1) z ]
= (x + y)( x y + z)
= x x y + x z +x y y + y z
= x z + x y + y z
= 0 + x z + x y + y z
= x x + x z + x y + y z
= x (x + z) + y (x + z)
= (x + y)(x + z)
xy + xyz = xy + xz
البرهان :
xy+ xyz = xy + xz
= x (y+ yz )
= x (y+ z )
= xy + xz
(x + y)(x + y+ z) = (x + y)(x + z)
البرهان :
(x+y).(x+ y +z) = (x + y).( x + z)
= xx + xy + xz + yx + yy + yz
= x + xy + xz + yx + 0 + yz
= x( 1 + y ) + xz + yx + yz
= x + xz + yx + yz
= xx + xz + yx + yz
= x(x + z) + y(x + z)
= (x + y)( x + z)
مبرهنتي مورغان (MORGAN)
|
المبرهنة الأولى x y z = x + y + z البرهان :( نستعمل جدول الحقيقة )
|
المبرهنة الثانية x + y + z = x y z البرهان :( نستعمل جدول الحقيقة )
|
تطبيقات
- تذكير
بالعاملين " ليس و وَ ليس أو"
| باستعمال المبرهنة الأولى لمورغان | ليس و | |
| باستعمال المبرهنة الثانية لمورغان | ليس أو |
- استخدامات للعاملين ليس و وَ ليس أو
ملاحظة: هذين العاملين هما الجد المستعملين في المجال الإلكتروني.
وسنرى كيف يقومان بتمثيل أو تركيب العوامل الأساسية للمنطق (لا وَ و وَ أو)
| 1 . باستخدام العامل ليس أو | 2 . باستخدام العامل ليس و |
|
|
|
|
|
|
أمثلة لتبسيط الدوال المنطقية جبريا
لنبسط جبريا الدوال التالية :
Z = ( a + b )( b + c )( a + c )
=( a b + a c + b b + b c )( a + c )
=( a b + a c + 0 + b c )( a + c )
=( a b + a c + b c )( a + c )
= a b a + a b c + a c a + a c c + b c a + b c c
= 0 + a b c + 0 + a c + b c a + b c
= a b c + a c + b c a + b c
= c [ a( b + 1) + b( a + 1) ]
= c ( a.1 + b.1 )
= ( a + b ) c
Z = ( a + b )( a + b + c )( a + c )
= ( a a + a b + a c + b a + b b + b c )( a + c )
= ( 0 + a b + a c + b a + 0 + b c )( a + c )
= ( a b + a c + b a + b c )( a + c )
= a b a + a b c + a c a + a c c + b a a + b a c + b c a + b c c
= a b + a b c + a c + 0 + 0 + b a c + b c a + 0
= a b + a b c + a c + b a c + b c a
= a b (1+ c ) + a c (1+ b ) + b a c
= a b .1 + a c .1 + b a c
= a b + a c + b a c
= a( b + c ) + a b c
= a b c + a b c
= a b c
تأليف
المؤلف الأصلي: مجهول
ترجمة بتصرف: محمد عبد الرحمان (الدار البيضاء - المغرب)