الإنجليزية: Adams Bashforth Moulton Method
الفرنسية: Méthode d'Adams Bashforth Moulton
المبدأ
حل رقميا y'(x) = f(x, y(x)) x  [a, b] y(a) = y0 |
نجزئ المجال الاندماج [a, b] إلى N مجال ذي طول يساوي h = 
،
محدودة بنقط التجزيء xn = a + nh , n = 0,... N .
لكل أفصول xn، نحسب القيمة المقربةyn للقيمة الصحيحة y(xn) لدالة y .
لهذا، نستعمل الخاصية التالية:
نقرب على بحدودية الاستكمال في النقط:
-
xn-3, xn-2, xn-1, xn (صيغة التنبؤ)
-
xn-2, xn-1, xn, xn+1 (صيغة التصحيح)
الخوارزم
تهيئ:
حسابy1 و y2 و y3 باستعمال طريقة ذات خطوة واحدة
الكرة:
صيغة التنبؤ:
صيغة التصحيح:
مثال
نعتبر مشكلة كوشي:
لتكن 
علما أن y(0) = 1
الحل المضبوط هو : 
احسب رقميا قيمy(x) لـ x = 0, 0.1, 0.2, ..., 1 بأخد لـ N القوى المتتالية لـ 10.
3 خطوات الأولى (حساب y1, y2, y3) سيتم باستعمال طريقة رونج-كيتا.
الخطوتين الأولتين لـ N = 10
h = 1/10
x0 = 0 , y0 = 1
x1 = 1/10 , x2 = 2/10 , x3 = 3/10 ( y1, y2, y3 و منه )
x4 = 4/10
y4* = y3 + (1/240) [55f(x3, y3) - 59f(x2, y2) + 37f(x1, y1) - 9f(x0, y0)]
y4 = y3 + (1/240) [9f(x4, y4*) + 19f(x3, y3) - 5f(x2, y2) + f(x1, y1)]
البرمجة
#include <math.h> #include <conio.h>
double ed_f(double x,double y) { return(-y*y); }
double ed_solution(double x) { return(1.0/(1.0+x)); }
long ed_adams_bashforth_moulton(double a,double b,double y,long n,double res[101][2]); void ed_affichage(double a,double b,long n,long nmax,double res[101][2],int nbpts);
main() { int nbpts; long n,nmax; double a,b,y0; double res[101][2]; clrscr(); nbpts=10; a=0;b=1;y0=1; printf("Méthode d'Adams-Bashforth-Moulton\n"); for(n=10;n<=1000;n*=10) { nmax=ed_adams_bashforth_moulton(a,b,y0,n,res); ed_affichage(a,b,n,nmax,res,nbpts); printf(" taux = %.3e\n", fabs(res[nmax][1]-ed_solution(res[nmax][0]))*pow(n,4)); } }
نتيجة البرنامج
-
في كل خطوة البرنامج يظهر:
قيمة xn
قيمة yn
الارتياب (الفرق بين yn المحسوبة والقيمة المضبوطةy(xn) )
ويظهر أيضا، لكل قيمة h، نسبة التقارب، العلاقة بين الارتياب وh4 في نقطة اعتباطية من المجال (نختار x = 1)
h = 0.1000
xn yn الارتياب
0.0000 1.0000000000000000e+00 0.00e+00
0.1000 9.0909118633221964e-01 2.77e-07
0.2000 8.3333372884307211e-01 3.96e-07
0.3000 7.6923120575328652e-01 4.37e-07
0.4000 7.1427030768034339e-01 1.54e-05
0.5000 6.6664403261030503e-01 2.26e-05
0.6000 6.2497434530089857e-01 2.57e-05
0.7000 5.8820877835436980e-01 2.65e-05
0.8000 5.5552937890959886e-01 2.62e-05
0.9000 5.2629056824798792e-01 2.52e-05
1.0000 4.9997602892674858e-01 2.40e-05
نسبة = 2.40e-01
h = 0.0100
xn yn الارتياب
0.0000 1.0000000000000000e+00 0.00e+00
0.1000 9.0909090744887688e-01 1.64e-09
0.2000 8.3333333050683434e-01 2.83e-09
0.3000 7.6923076594958040e-01 3.28e-09
0.4000 7.1428571090882076e-01 3.38e-09
0.5000 6.6666666336955593e-01 3.30e-09
0.6000 6.2499999686463836e-01 3.14e-09
0.7000 5.8823529117751572e-01 2.94e-09
0.8000 5.5555555281893010e-01 2.74e-09
0.9000 5.2631578693596093e-01 2.54e-09
1.0000 4.9999999765032532e-01 2.35e-09
نسبة = 2.35e-01
h = 0.0010
xn yn الارتياب
0.0000 1.0000000000000000e+00 0.00e+00
0.1000 9.0909090909069668e-01 2.12e-13
0.2000 8.3333333333302617e-01 3.07e-13
0.3000 7.6923076923042988e-01 3.39e-13
0.4000 7.1428571428537246e-01 3.42e-13
0.5000 6.6666666666633689e-01 3.30e-13
0.6000 6.2499999999968892e-01 3.11e-13
0.7000 5.8823529411735709e-01 2.90e-13
0.8000 5.5555555555528657e-01 2.69e-13
0.9000 5.2631578947343471e-01 2.49e-13
1.0000 4.9999999999976941e-01 2.30e-13
نسبة = 2.30e-01
الدالة الرئيسية ed_adams_bashforth_moulton
معايير هذه الدالة هي كالتالي:
-
a و b : حدي المجال [a, b]
-
y : الشرط البدئي y0 = y(a) = y(x0)i
-
n : عدد المجالات الصغيرة (ذات الطول h)
-
res : جدول لحفظ القيم (xn, yn)
تستدعي الدالة الرئيسية الدالة التالية التي يجب تعريفها في البرنامج الرئيسي أيضا:
double ed_f(double x,double y)
تمثل هذه الدالة الدالة الرياضية f .
يتم حساب القيم التقريبية لـ y(x)i من خلال طريقة آدم باشفورت مولتون. وترجع بعدد القيم (xn, yn) المحفوظة (أقصى حد هو 100). سيتم حفظ هذه القيم في الجدول res: حيث سيحتوي العمود 0 على قيم xn بينما سيمثل العمود 1 قيم yn المقابلة.
ملاحظة: الخطوات الثلاث الأولى تتم بمساعدة طريقة رونج كيتا بدرجة 4.
long ed_adams_bashforth_moulton(double a,double b,double y,long n,double res[101][2]) { double x,h,k1,k2,k3,k4,tol,xx,yy,exx; double f[4]; long i,j,k; h=(b-a)/n; tol=h/2; x=a; res[0][0]=a; res[0][1]=y; j=1; for(i=1;i<=n;i++) { if(i==1||i==2||i==3) { k1=ed_f(x,y); k2=ed_f(x+h/2,y+h*k1/2); k3=ed_f(x+h/2,y+h*k2/2); k4=ed_f(x+h,y+h*k3); f[i]=k1; y += h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; } else { for(k=0;k<=2;k++) f[k]=f[k+1]; f[3]=ed_f(x,y); yy = y+h*(55*f[3]-59*f[2]+37*f[1]-9*f[0])/24; y += h*(9*ed_f(x+h,yy)+19*f[3]-5*f[2]+f[1])/24; } x += h; xx=x-a; exx=floor(100*xx+0.5)/100; if(fabs(exx-xx)<tol) { res[j][0]=x; res[j][1]=y; j++; } } return(j-1); }
دالة الإظهار ed_affichage
معايير دالة الإظهار هي كالتالي:
-
a و b : حدي المجال [a, b]
n : عدد المجالات الصغيرة (ذات الطول h)
nmax : العدد الأقصى للقيم المحتفظ بها
res : جدول يحفظ القيم (xn, yn)
nbpts : عدد القيم المسموح لها بالإظهار على الشاشة
وهي بدورها تستدعي الدالة التالية:
double ed_solution(double x)
التي يجب أن تعرف في البرنامج الرئيسي وتعطى الحل الحقيقي لـ y.
ستقوم دالة الإظهار بإظهار جزئي للقيم (nbpts قيمة كأقصى حد) المحفوظة في الجدول res. وتظهر أيضا نسبة الخطأ، أي الفرق بينالقيمة الحقيقية y(xn)i للحل y(x)i والقيمة المقربة لـ yn.
void ed_affichage(double a,double b,long n,long nmax,double res[101][2],int nbpts)
{
double h,x;
long i;
h=(b-a)/n;
printf("h = %.4f\n",h);
printf(" xn yn Erreur\n");
if(nmax<nbpts)
for(i=0;i<=nmax;i++)
printf("%8.4f %.17e %.3e\n", res[i][0],res[i][1],fabs(ed_solution(res[i][0])-res[i][1]));
else
{
for(i=0;i<=nmax;i++)
{
x=floor(res[i][0]*nbpts+0.5)/nbpts;
if(fabs(x-res[i][0])<0.005)
printf("%8.4f %.17e %.3e\n", x,res[i][1],fabs(ed_solution(res[i][0])-res[i][1]));
}
}
}