مصطلحات

العربية: طريقة لاغرونج

الإنجليزية: Lagrange method

الفرنسية: Methode de Lagrange

المبدأ

P_n(x)لتكن   حدودية معرفة كالتالي:

P_n(x_i) = y_i ,    i = 0,... n

نحسب حدودية الاستكمالP_n(x)  على الصيغة التأليفة الخطية لحدوديات لاغرونج.

الخوارزم

باعتبار أن: (حدودية لاغرونج)    

مثال

نعتبر حدودية الاستكمال P(x)  بحيث: P(0) = 0 و P(1)=3 و P(3)=5 و P(9/2)=4 و P(5)=3 

احسب قيمةP(x)  في 20 نقطة متباعدة بنفس المسافة من المجال [0, 5]

حسابP(2)
x0=0, x1=1, x2=3, x3=9/2, x4=5
y0=0, y1=3, y2=5, y3=4, y4=3 
L0(2) = ((2-1)(2-3)(2-9/2)(2-5))/((0-1)(0-3)(0-9/2)(0-5)) = -1/9 
L1(2) = ((2-0)(2-3)(2-9/2)(2-5))/((1-0)(1-3)(1-9/2)(1-5)) = 15/28 
L2(2) = ((2-0)(2-1)(2-9/2)(2-5))/((3-0)(3-1)(3-9/2)(3-5)) = 5/6 
L3(2) = ((2-0)(2-1)(2-3)(2-5))/((9/2-0)(9/2-1)(9/2-3)(9/2-5)) = -32/63 
L4(2) = ((2-0)(2-1)(2-3)(2-9/2))/((5-0)(5-1)(5-3)(5-9/2)) = 1/4 
P(2) = 0*(-1/9)+3*(15/28)+5*(5/6)+4*(-32/63)+3*(1/4) = 283/63 

البرمجة

#include <math.h>
#include <conio.h>
#define NMAX 5

void it_coef_lagrange(int n,double x[NMAX],double f[NMAX],double d[NMAX]);
double it_pol_lagrange(int n,double d[NMAX],double x[NMAX],double alpha);

main()
{
 double alpha,ord;
 int j;
 double x[NMAX],f[NMAX];
 double d[NMAX];
 clrscr();
 printf("Méthode de Lagrange\n");
 x[0]=0;x[1]=1;x[2]=3;x[3]=4.5;x[4]=5;
 f[0]=0;f[1]=3;f[2]=5;f[3]=4;f[4]=3;
 it_coef_lagrange(4,x,f,d);
 for(j=0;j<=20;j++)
 {
  alpha=0.25*j;
  ord=it_pol_lagrange(4,d,x,alpha);
  printf("x =%6.2f     y =%24.17e   \n",alpha,ord);
 }
}

نتيجة البرنامج

في كل عملية حسابية، يظهر البرنامج قيمة المتغير وقيمة ملائمة لحدودية الاستكمال.

x =  0.00     y =  0.0000000000000000e+00   
x =  0.25     y =  9.3624751984126964e-01   
x =  0.50     y =  1.7380952380952381e+00   
x =  0.75     y =  2.4213169642857140e+00   
x =  1.00     y =  3.0000000000000000e+00   
x =  1.25     y =  3.4865451388888884e+00   
x =  1.50     y =  3.8916666666666671e+00   
x =  1.75     y =  4.2243923611111116e+00   
x =  2.00     y =  4.4920634920634921e+00   
x =  2.25     y =  4.7003348214285712e+00   
x =  2.50     y =  4.8531746031746019e+00   
x =  2.75     y =  4.9528645833333327e+00   
x =  3.00     y =  5.0000000000000000e+00   
x =  3.25     y =  4.9934895833333339e+00   
x =  3.50     y =  4.9305555555555562e+00   
x =  3.75     y =  4.8067336309523814e+00   
x =  4.00     y =  4.6158730158730155e+00   
x =  4.25     y =  4.3501364087301582e+00   
x =  4.50     y =  4.0000000000000000e+00   
x =  4.75     y =  3.5542534722222223e+00   
x =  5.00     y =  3.0000000000000000e+00   

الدالتين it_pol_lagrange و it_coef_lagrange

يجب إستدعاء هاتين الدالتين بشكل متتابع:

معايير الدالة it_coef_lagrange:

• n : عدد نقاط الإستكمال
  x : جدول يحتوي على أفاصيل الإستكمال
  f : جدول يحتوي على قيم f(x)i لنقاط الإستكمال
  d : جدول يضم معاملات الحدودية في البداية
  
  تكون النتائج في الجدول d بحيث يتم حساب معاملات الحدوديات بالقاعدة المرتبطة بـ  n+1 قسمة مختلفة للمتغير المعطى من خلال المعيار x.

معايير الدالة it_pol_lagrange:

• n :عدد نقاط الإستكمال
  d : جدول يحتوي على معاملات حدوديات القاعدة
  x : جدول يحتوي على أفاصيل الإستكمال
  alpha : قيمة المتغير

ترجع هذه الدالة، بخصوص القيمة المعطاة للمتغير، قيمة حدودية الإستكمال المحسوبة انطلاقا من عناصر جدول معاملات حدوديات القاعدة.

الثابتة الصحيحة NMAX تساوي العدد القصوي لنقاط الإستكمال.

void it_coef_lagrange(int n,double x[NMAX],double f[NMAX],double d[NMAX]) 
{
 int i,j;
 for(i=0;i<=n;i++)
 {
  d[i]=f[i];
  for(j=0;j<=n;j++)
    if(j!=i) d[i]/=x[i]-x[j]; 
  }
 }

double it_pol_lagrange(int n,double d[NMAX],double x[NMAX],double alpha) 
{
 int i,j;
 double l,p;
 p=0;

 for(i=0;i<=n;i++) 
 {
  l=d[i];
  for(j=0;j<=n;j++)
   if(j!=i) l*=alpha-x[j];
  p+=l;
 } 
 return(p); 
}